Geometrİk Kavramlar

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 22:59

Alt ve üst kenarları paralel olan dörtgenlere yamuk denir.
Şekildeki ABCD yamuğunda [AB] // [DC] dir.
1. Yamukta açılar
[AB] // [DC] olduğundan
x + y = 180°
a + b = 180°

* Karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgenlerde açıortay verilmiş ise ikizkenar üçgen elde edebileceğimiz gibi, ikizkenarlık verilmiş ise de açıortay elde ederiz.

2. Yamuğun Alanı
ABCD yamuğunda paralelkenarlar arasındaki uzaklığa yamuğun yüksekliği denir. Alt tabanı |DC| = a,
üst tabanı |AB| = c
yüksekliği |AH| = h
ABCD yamuğunun alanı
3. İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarları eşit olan yamuklara ikizkenar yamuk denir.
a. İkizkenar yamukta taban ve tepe açıları kendi aralarında eşittir.
m(A) = m(B) = y
m(D) = m(C) = x

b. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenlerin kesiştiği noktaya E dersek
|AE| = |EB|
|DE| = |CE|

* Köşegen uzunlukları birbirine eşit olan her yamuk ikizkenardır.

c. İkizkenar yamukta üst köşelerden alt tabana dikler çizilmesiyle ADK ve BCL eş dik üçgenleri oluşur. |DC| = a
|KL| = c

4. Dik Yamuk
Kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.
|AD| = h aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.
5. Yamukta Orta Taban
a. ABCD yamuğunda E ve F kenarların orta noktaları ise EL doğrusuna orta taban denir.
[AB] // [EF] // [DC]

Yamuğun alanı
olduğundanA(ABCD)=Orta taban x Yükseklikb. Yamukta köşegenin orta tabanda ayırdığı parçalar

* ABCD yamuğunda EF orta taban

6. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktasından tabanlara çizilen paralel;
ABCD yamuğunda L köşegenlerin kesim noktasıdır.
[AB] // [MN] // [DC]

7. Kenar Uzunlukları Bilenen Yamuk
Bir ABCD yamuğunun kenar uzunlukları biliniyor ise kenarlardan birine paralel çizilerek bir paralelkenar ve bir üçgen oluşturulur.8. Köşegenleri Dik Kesişen Dik Yamuk
ABCD dik yamuğunda
[AC] ^ [BD] BD ye paralel çizildiğinde oluşan dik üçgende
h2=a.c9. Köşegenleri Dik Kesişen İkizkenar Yamuk
ABCD yamuğunda
|AD| = |BC|
[AC] ^ [BD]
yamuğun yüksekliği

10. Yamukta Köşegenlerin Ayırdığı Parçaların Alanı Herhangi bir yamukta köşegenler çizildiğinde
[AB] // [DC]

A(ABCD)=A(BCE)=S

Bir yamukta alt ve üst iki köşenin, karşı kenarın orta noktası ile birleştirilmesi sonucu oluşan alan yamuğun
alanının yarısına eşittir.
|BE| = |EC|
A(ABCD) = 2A(ADE)
l [AB] // [EF] // [DC], |AB| = a
|EF| = b
|DC| = c
A(ABFE) = S2
A(EFCD) = S1

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 22:59

* ÇEMBER

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktalar kümesine çember denir. O noktasından r uzaklıktaki noktalar kümesi, O merkezli ve r yarıçaplı çemberdir.

Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş denir. [CD] kirişi gibi.
En uzun kiriş merkezden geçen kiriştir. O merkezinden geçen [AB] kirişine çemberin çapı denir.
Çemberi iki noktada kesen doğrulara kesen denir. d2 doğrusu çemberi K ve L noktalarında kestiğine göre, kesendir.
Çemberi bir noktada kesen doğruya teğet denir. d1 doğrusu çemberi T noktasında kestiğinden teğettir.
Çemberin merkezindeki 360° lik açı çember yayının tamamını görür. Çember yayının açısal değeri 360° dir.

Çap çember yayını iki eşit parçaya ayırır. Her bir parça 180° dir.

* ÇEMBERDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1. Merkez Açı
Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
m(AOB)=m(AB)=a2. Çevre Açı
Köşesi çemberin üzerinde, kenarları bu çemberin kirişleri olan açıya çevre açı denir. Çevre açının ölçüsü, gördüğü
yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

Aynı yayı gören çevre açının ölçüsü merkez açının ölçüsünün yarısıdır.

Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir. m(BAC) = m(BEC) = m(BDC)

Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir. m(AEB) = m(ACB) = m(ADB) = 90°
3. Teğet - kiriş açı
Köşesi çember üzerinde, kollarından biri çemberin teğeti, diğeri çemberin kirişi olan açıya, teğet - kiriş açı denir.
Teğet - kiriş açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.

* Aynı yayı gören teğet-kiriş açı ile çevre açının ölçüleri eşittir.

m(ABT) = m(ATC) = a

4. İç Açı
Bir çemberde kesişen farklı iki kirişin oluşturduğu açıya iç açı denir.
İç açının ölçüsü gördüğü yayların ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
5. Dış Açı
İki kesenin, iki teğetin veya bir teğetle bir kesenin oluşturduğu açıya, çemberin bir dış açısı denir.
Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir.
APB açısı AB ve CD yaylarını gördüğüne göre,

* [PA teğet,

[PB kesen,

* [PA teğet

[PC teğet
m(AC) = y
m(CA) = x
dersek

Burada, x + y = 360° olduğundan,
a + x = 180°

* O merkezli yarım çemberde,

m(APC) = a
m(AB) = b
a+b = 90°

6. Kirişler Dörtgeni
Kenarları bir çemberin kirişleri olan dörtgene kirişler dörtgeni denir.
Bir kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar bütünlerdir.
m(A)+m(C)=180°
m(B)+m(D)=180°
Karşılıklı açılarının ölçüleri toplamı 180 olan bütün dörtgenlerin köşelerinden bir çember geçer.

* Kesişen iki çemberde oluşan ABEF ve BCDE dörtgenlerinde

m(ABE)=m(CDF) m(AFD)=m(CBE)
m(ABE)+m(CBE)=180° olduğundan,
[AF] // [CD]

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 22:59

Çemberde Açı ve Uzunluk

* TEĞET - KİRİŞ ÖZELLİKLERİ

1. Teğet noktasından ve çemberin merkezinden geçen doğru, teğet olan doğruya diktir.AB doğrusu T noktasında çembere teğet
AB ^ OTTeğet doğrusuna, teğet noktasından çizilen dik doğru çemberin merkezinden geçer.
2. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzulukları birbirine
eşittir.
[PA ve [PT
çembere teğet
|PA| = |PB|
[PT ve [PS çembere teğet ve O çemberin merkezi ise [PO, TPS açısının açıortayıdır.
|OT| = |OS| ve [PT] ^ [TO], [PS] ^ [SO] olduğundan PTOS dörtgeni bir deltoid tir.

* İçten ve dıştan teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.

O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğet ise, merkezleri birleştiren doğru T noktasından geçer.
Aynı özellik içten teğet çemberler için de geçerlidir.O1 , O2 ve T noktaları aynı doğru üzerindedir.
3. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.
Bir çemberde, merkeze uzaklıkları eşit olan kirişlerin uzunlukları da eşittir.
|OF|=|OE|Û|AB|=|CD|
Bir çemberde herhangi iki kirişten merkeze yakın olanı daha büyüktür.
|OH|<|ON|Û|AB|>|CD|
4. Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin gördüğü yaylarda eşittir.

5. Bir çemberde paralel iki kiriş arasında kalan yaylar eşittir.

Bir çember içinde alınan herhangi bir P noktasından geçen en kısa kiriş, orta noktası P olan kiriştir.
[AC] ^ [PO]

* TEĞETLER DÖRTGENİ

1. Bir çembere teğet dört doğru parçasının oluşturduğu dörtgene teğetler dörtgeni denir. ABCD dörtgeninde K, L, M, N teğetlerin değme noktasıdır.

2. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı eşittir.

a+c=b+d
3. Teğetler dörtgeninin alanı; içteğet çemberin yarıçapı ile çevresinin çarpımının yarısıdır.

* KİRİŞLER DÖRTGENİ

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamının 180° dir.
Dörtgeninin alanı;

A(ABCD)=Ö(u - a)(u - b)(u - c)(u - d)
KUVVET
1. Çemberin Dışındaki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti
[PT, T noktasında çembere teğet, [PB ve [PD çemberi
kesen ışınlar
Kuvvet = |PT|2 = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|2. Çemberin İçindeki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti
Bir çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kiriş üzerinde, kesim noktasının ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı
sabittir.
Kuvvet = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|

* Çemberin üzerindeki bir noktanın çembere göre kuvveti sıfırdır

3. İki Çemberin Kuvvet Ekseni
Kuvvet ekseni üzerindeki noktaların her iki çembere göre kuvvetleri eşittir.
a. Dıştan teğet iki çemberin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni çemberin merkezlerini birleştiren doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 + r2

b. İçten teğet çemberlerin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni merkezlerden geçen doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 – r2

c. Kesişen çemberlerde kuvvet ekseni çemberlerin kesişim noktalarından geçer ve merkezleri birleştiren doğruya diktir. |O1O2| < r1 + r2

şekildeki P noktasının A noktasında birbirine dıştan teğet olan O1 ve O2 merkezli çemberlere uygulamış olduğu kuvvetler eşittir.
|PB|=|PA|=|PC| Û |BA]^[AC]

* Yarıçapları kesişim noktalarında dik olan çemberlere dik kesişen çemberler denir.

d. Kesişmeyen çemberlerin ortak noktası yoktur. Kuvvet ekseni iki çemberin arasında ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir. |O1O2| > r1 + r2
4. Ortak Teğet Parçasının Uzunluğu

Ortak teğet uzunluğunun bulunabilmesi için merkezlerden teğetlere dikler çizilir.
O1O2C dik üçgeninde |CO2| = |AB|
|AB|2 =|O1O2|2 - |r1-r2|2
5. Bir Doğru İle Bir Çemberin Durumları
Aynı düzlemde bulunan O merkezli r yarıçaplı bir çember ile d doğrusu üç farklı durumda bulunur.
a. |OH| > r ise
doğru çemberi kesmez ve doğru çemberin dışındadır.
Çember Ç d = Æ

b. |OH| = r ise
doğru çemberi bir noktada keser. Yani doğru çembere teğettir.
Çember Ç d = {H}

c. |OH| < r ise
doğru çemberi iki noktada keser.
Çember Ç d = {A, B}

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 23:00

Uzay Geometri

* BAZI KAVRAM ve TANIMLAR

Geometride nokta, doğru, düzlem ve uzay gibi bazı kavramlar tanımsız olarak kabul edilir. Kalemin veya sivri bir şeyin ucunun bıraktığı ize nokta diyebiliriz. Cetvelin kenarı ile bir doğru çizebiliriz. Sınıfın duvarı, pencere camı birer düzlemdir. Odanın içerisi, herhangi bir cismin kapladığı yer birer uzay belirtirler.
Nokta : « . » Biçiminde ifade edilir ve genellikle büyük harfle gösterilir. Nokta boyutsuzdur.
« . » nokta, « . A” A noktası
Doğru : iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir çizgi ile gösterilir. Doğru küçük harfle veya üzerindeki iki nokta ile gösterilir.
d »d doğrusuveya AB doğrusu diye okunur. Buradaki A ve B noktaları doğrunun birer elemanıdır.
A Îd ve B Î d biçiminde yazılır.

* Farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.
* Farklı iki nokta bir tek doğru belirtir.

Doğru bir boyutludur. Yani sadece uzunluk söz konusudur.
Düzlem: Uzunluğuna ve genişliğine doğru sonsuza uzayıp giden düz bir yüzeydir. Düzlem iki boyutludur. Sayfa üzerinde paralelkenar gibi gösterilebilir. Paralelkenarın köşesine harfle ismi yazılabilir.
şekildeki düzlem E düzlemi diye isimlendirilir.
Burada A, B ve C noktaları E düzlemi üzerindedir. Dolayısıyla B ve C noktalarından geçen d doğrusu da E düzlemi üzerindedir.A Î E
B Î E
C ÎE
d ÎE

* Aynı doğru üzerinde olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir.
* Bir doğru ile, bu doğru üzerinde olmayan bir nokta, bir düzlem belirtir.
* Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlem üzerinde ise bu doğru (doğrunun bütün noktaları) bu düzlem üzerindedir.

1. Düzlemle Doğrunun Durumları

Bir doğru düzlemin ya üzerinde, ya dışındadır veya düzlemi bir noktada keser.
d1Ça = d1
d2Ça = Ø
d Çb = {K}
K noktası kesişen bir doğru ile bir düzlemin arakesitidir.
2. Düzlemde İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları

*
Paralel farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir.
*
Her paralel farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer.
*
Kesişen farklı iki doğru bir tek düzlem belirtir. Her kesişen farklı iki doğrudan bir tek düzlem geçer.
*
Bir düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir, ya da bir noktada kesişirler.

d1Ç d2 = Ø
l1Ç l2 = {A}
Üst üste çizilen çakışık doğrular bir tek doğru kabul edilir.
3. Düzlemde Üç Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları

Üç doğru paralel olabilir.
d1 // d2 // d3 d1Ç d2Çd3 = Ø
Düzlemde paralel olan iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.
d1 // d2 ve d2 // d3 ise d1 // d3 olur.
Yalnız ikisi paralel ise, üçüncü doğru paralel doğruları birer noktada keser.
l1 // l2
l1Ç l3 = {A}
l2Ç l3 = {B}

*
Düzlemde paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru, diğerini de keser.
*
Düzlemde paralel iki doğrudan birini dik kesen bir doğru diğerini de dik keser.

Üç doğru bir noktada kesişebilir.
k1Ç k2Çk3 = {P}
Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir.
t1Ç t2 = {A}
t1 Ç t3 = {B}
t2 Ç t3 = {C}
t1 Ç t2 Çt3 = Ø
4.Düzlemde Nokta İle Doğrunun Durumları

*
Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.

d2 doğrusu A'dan geçer ve d1 e diktir

*
Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.

d3 doğrusu B'den geçer ve d1 e diktir.

*
Doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya paralel olan bir tek doğru çizilebilir.

l2 doğrusu A'dan geçer ve l1 ile paraleldir.

5. Doğruların Düzlemde Ayırdığı Bölge Sayısı
Genel olarak, n adet doğru bir düzlemi en az (n + 1) bölgeye (paralellik hali), en
fazla

bölgeye ayırır.

*
İki doğru, bir düzlemi en az 3 bölgeye, en fazla 4 bölgeye ayırır.

*
Üç doğru, bir düzlemi en az 4 bölgeye, en fazla 7 bölgeye ayırır.

*
Dört doğru, bir düzlemi en az 5 bölgeye, en fazla 11 bölgeye ayırır.

*
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusu idi. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlikte denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R3 ile sembolize edilir.
Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir.
1. Uzay Belirtme Aksiyomları

*
Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir.

E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.

*
Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir.

E düzlemi ile bu düzlemin dışındaki P noktası uzay belirtir.

*
Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir.

d doğrusu F düzleminde olmadığından, F düzlemi ile d doğrusu uzay belirtir.

*
Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler.
*
Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir.
*
Farklı iki düzlem daima uzay belirtir.
*
Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.

Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E Ç F = d dir.

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 23:00

* DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.
Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.
[AA'], [BB'], [CC'], [DD']
yanal ayrıtlardır.
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir.
Cismin yüksekliğine h dersek
h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.
Prizmanın Hacmi
Hacim=Taban Alanı x Yükseklik
Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.
Yanal Alan = Taban çevresi x YükseklikBütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.
Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı1. Dikdörtgenler Prizması
Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda
Hacim = a.b.c
Alan =2(ab+bc+ac)
Alan = 2 (ab + bc + ac)
Cisim Köşegeni: e =Öa2 + b2 + c2
Yüzey Köşegeni: f = Öa2 + b2
2. Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.

Hacim = a2 . hYanal Alan = 4 . a . h
Alan = 4.ah + 2.a2Cisim köşegeni : e = Öa2 + a2 + h2
3. Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.
Hacim = a3
Alan = 6a2
Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4. Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.
a. Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Taban alanıHacimTaban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
Buradan tüm alanı
Tüm alanb. Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
Tabanı dik üçgen olduğundan
Taban alanı =HacimTaban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) . h
Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
5. Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
Taban alanı= pr2
Hacim= pr2hTaban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur.
Tüm alan = 2prh+ 2prBir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.
6. Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

* Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.

EĞİK PRİZMALAR
1. Eğik Kare Prizma
Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l .sin a olur.
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,
a'=a.sin a kadardır.
Buradan;
Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a
Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin aEğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıtbağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.
Hacim = Taban Alanı x YükseklikAyrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
2. Eğik Silindir
|AA'| = |BB'| = l
Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik,
h=l.sin a
Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin aEğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt

* DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ

Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir.
Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir.
[AA'], [BB'], [CC'], [DD']
yanal ayrıtlardır.
Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir.
Cismin yüksekliğine h dersek
h = |AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| olur.
Prizmanın Hacmi
Hacim=Taban Alanı x Yükseklik
Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur.
Yanal Alan = Taban çevresi x YükseklikBütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.
Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Alanı1. Dikdörtgenler Prizması
Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları
|AC'| = |A'C| = |BD'| = |B'D| = e (cisim köşegeni)
|BD| = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda
Hacim = a.b.c
Alan =2(ab+bc+ac)
Alan = 2 (ab + bc + ac)
Cisim Köşegeni: e =Öa2 + b2 + c2
Yüzey Köşegeni: f = Öa2 + b2
2. Kare Prizma
Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur.

Hacim = a2 . hYanal Alan = 4 . a . h
Alan = 4.ah + 2.a2Cisim köşegeni : e = Öa2 + a2 + h2
3. Küp
Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir.
Hacim = a3
Alan = 6a2
Kübün yüzey köşegenleri birbirine eşittir.
Yüzey köşegeni: f = aÖ2
Cisim köşegeni: e = aÖ3
4. Üçgen Prizmalar
Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir.
Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir.
a. Eşkenar Üçgen Prizma
Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Tabanı eşkenar üçgen olduğundan
Taban alanıHacimTaban çevresi 3a olduğundan, yanal alan 3a.h dır.
Buradan tüm alanı
Tüm alanb. Dik Üçgen Prizma
Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur.
Tabanı dik üçgen olduğundan
Taban alanı =HacimTaban çevresi a + b + c olduğundan,
Yanal alan = (a + b + c) . h
Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . h
5. Silindir
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır.
Taban alanı= pr2
Hacim= pr2hTaban çevresi 2pr olduğundan yanal alan 2prh olur.
Tüm alan = 2prh+ 2prBir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.
6. Düzgün Çokgen Prizmalar
Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar deriz. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir.

* Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmin taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanın ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımı olduğunu unutmayalım.

EĞİK PRİZMALAR
1. Eğik Kare Prizma
Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile a açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir.
Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek,
Prizmanın yüksekliği h =l .sin a olur.
Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır.
Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise,
a'=a.sin a kadardır.
Buradan;
Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sin a
Dik kesit çevresi = 2a +2a.sin aEğik prizmaların yanal alanlarının toplamı
Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıtbağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur.
Hacim = Taban Alanı x YükseklikAyrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir.
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
2. Eğik Silindir
|AA'| = |BB'| = l
Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile a açısı yapan eğik silindirde yükseklik,
h=l.sin a
Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sin aEğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt
Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 23:00

Piramitler, Koni ve Küre

* PİRAMİTLER

Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir.
T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.
Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur.
|TH| = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC]… piramidin yanal ayrıtlarıdır.
Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır.

1.Kare Piramit

Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.
İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.
|PH| = h piramidin yüksekliğidir.
Yan yüz yüksekliği |PK| dır.
Tabanının bir kenarına a dersek

Buradan yan yüz yüksekliği
|PK|2 = h2 + ( )2 olur.

Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

2. Eşkenar Üçgen Piramit
Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Taban Alanı olduğundan 3. Düzgün Dörtyüzlü
Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.
Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün
Yarı yüz yüksekliğive Cisim yüksekliği olurBuradan

4. Düzgün Sekizyüzlü
Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir.
Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği olur.
Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu
düşünürsek piramitlerin yüksekliği;
olur.
Piramitin hacmi olduğundan;

Yüzey şekilleri eşkenar üçgen olduğundan

5. Düzgün Altıgen Piramit
Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir.
Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir.
Taban alanı =olduğundan

bulunur. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgen oluşur.
KONİ
Tabanı daire biçiminde olan piramite koni adı verilir.
Burada;
Taban yarıçapı |OB| = r
Cisim yüksekliği |PO| = h olur.
|PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru denir.
POB dik üçgeninde,
h2 + r2 = l2 bağıntısı vardır.
Koninin yanal alanı bir daire dilimidir.

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,
Yanal alan= pr2+prl
Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir.
Tüm alan = šr2 + šrl

* Daire diliminin merkez açısına a dersek

oranı elde ederiz.

* Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir.

* Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi ile |BC| yarıçaplı ve yüksekliği |AB| olan koni elde edilir.

Kesik piramitlerin hacimleri bulunurken cisim piramide tamamlanır.
[O1B] // [O2D] olduğundan
benzerliği vardır.Küçük koninin büyük koniye benzerlik oranı dir. Alanları
oranı benzerlik oranının
karesi olduğundan, alanlar oranı olur. Hacimler oranı
ise benzerlik oranının küpüdür. r1 yarıçaplı küçük koninin hacmine V1, r2 yarıçaplı büyük koninin hacmine V2 dersek

KÜRE
Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir.O merkezli R yarıçaplı kürede;

Yüzey alanı1. Küre Dilimi
[KL] çap
m(AOB) = a
şekildeki gibi kesilip çıkarılan küre diliminin hacmi

2. Küre Kapağı
Bir küre merkezinden |OP| uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür.
Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına |OP|, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek
|OP|2 + r2 = R2 eşitliği vardır. h = R - |OP|Küre kapağının alanı= 2pRh Yandaki şekildeki gibi olan
Küre parçasının haçmi

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 23:01

Noktanın Analitik İncelemesi

1. Analitik Düzlem
Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır.
Dik koordinat sistemi
Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir.
Analitik düzlemde her noktaya bir (x, y) sayı ikilisi karşılık gelir. Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir.P(x, y) noktası için, x noktanın apsisi, y de ordinatıdır. Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır.
Orijinin koordinatları O(0,0) dır.
x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır. A(a, o) noktası gibi. y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır. B(o, b) noktası gibi.

* Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar.

I. Bölge: x > 0
y > 0
II. Bölge: x < 0
y > 0
III. Bölge: x < 0
y < 0
IV. Bölge: x > 0
y < 0

2. İki nokta arasındaki uzaklık
a. Apsisleri veya ordinatları eşit olan noktalar arasındaki uzaklık.

* Apsisleri eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir. A(a, c) ve
B(a, b) noktaları için
|AB| = |c – b|

* Ordinatları eşit olan iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir.

A(b, a) ve
B(c, a) noktaları için
|AB| = |c – b|

b. Apsisleri ve ordinatları farklı noktalar arasındaki uzaklık
Analitik düzlemde A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir.
A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir.
AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür. [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir.
Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;
eşitliği ile bulunabilir.
Burada x1 ile x2 nin ve y1 ile y2 nin yer değiştirmesi sonucu değiştirmez.

* İki nokta arası uzaklık bulunurken dik üçgenden de yararlanılabilir.

İki noktanın ordinatları farkı dik üçgenin bir kenarı, apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır.
Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir.

c. Bir noktanın orijine uzaklığı P(a,b) noktasının orijine uzaklığı
3.Orta Nokta Koordinatları
Yukarıdaki şekilde A(x1, y1) noktası ile B(x2, y2) noktası veriliyor. [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0, y0) noktası ise

* Köşegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir.

ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası, [BD] nin de orta noktasıdır.
Buradan;
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4
4.Belli Oranda Bölen Nokta Koordinatları
Belli oranda bölen noktayı bulurken; verilen oranlar ile apsisler farkı ve ordinatlar farkı arasında benzerlikten kaynaklanan bir eşitlik oluşur.
A(x1,y1) , B(x2,y2) ve C(x3,y3) noktaları için,
eşitliği vardır.Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir.
m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse
n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir.
Değişme miktarı artma yada azalma olabilir. Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir. Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir.
m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse
n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir.
5. Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) ve ağırlık merkezi G(xG,yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:
Bu eşitlikler belli oranda bölen nokta özellikleri kullanılarak elde edilebilir.
6. Köşe Noktalarının Koordinatları Bilinen Üçgenin Alanı
Köşe koordinatları A(x1,y1), B(x2,y2) ve C(x3,y3) olan ABC üçgeni veriliyor.

Köşe koordinatları bilinen üçgenin alanını bulmak için yukarıda olduğu gibi köşe koordinatları alt alta yazılır. İlk yazılan en alta ilave edilir ve şekildeki gibi çarpılır. Elde edilen sonuç ikiye bölünerek alan değeri bulunur. Alan negatif olamayacağından, sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir. (Mutlak değeri alınır.)
Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı, üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir.

* Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur. Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir.
* Bir üçgenin alanının sıfır çıkması, köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir.

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 23:01

Doğrunun Analitik İncelemesi

* Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan a eğim açısı gösterilmiştir.
* Doğrunun denklemi:

Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını veren eşitliğe doğrunun denklemi denir.
y = mx + n y = mx + n eşitliğinde m: eğim, n: sabit sayıdır. ax + by + c = 0 şeklinde verilen denklemde y yalnız bırakılırsa
elde edilir x in katsayısı eğimi verir.
Öyle ise,
ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi

Eğimi eşit olan doğrulara paralel doğrular denir. Doğruların eğimleri arasındaki bağıntıdan daha sonra bahsedeceğiz.
2. İki Noktası Bilinen Doğrunun Eğim ve Denklemi
a. İki noktası bilinen doğrunun eğimi
Analitik düzlemde A(x1, y1), B(x2, y2) noktaları bilinen d doğrusu üzerinde A, B noktalarının koordinatları kullanılarak oluşturulan ABC üçgeninin A açısı ile d doğrusunun eğim açısı yöndeş açılar olduklarından eşittirler.
Buradan

* olduğundan

şeklinde de yazılabilir

b. İki noktası bilinen doğrunun denklemi

A(x1, y1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde doğruyu oluşturan noktaları temsil eden P(x, y) noktası alalım. Bu üç noktadan herhangi ikisini kullanarak yazacağımız eğimler eşittir. Buna göre,
Bu eşitlik bize iki noktası bilinen doğru denklemini verir.

şeklinde de yazılabilir. Sonuç aynıdır.

* Orijinden yani O(0,0) noktasından geçen doğrularda x = 0 için y = 0 olacağından

y = mx + n denklemindeki n terimi sıfır olur.
O halde orijinden geçen doğrunun eğimi m ise denklemi
y= mxDoğru denklemi ax + by + c = 0 şeklinde ise ve orijinden geçiyorsa c = 0 dır.
Doğru denklemi ax + by = 0 olur.
3. Bir Noktası ve Eğimi Bilinen Doğrunun Denklemi
A(x1, y1) noktasından geçen ve eğimi m olan doğru denklemiA(x1, y1) noktası ve P(x, y) noktası kullanılarak yazılan eğim değeri verilen eğime eşitlenir.
4. Eksenlere Paralel Doğruların Denklemi
a. Eksen doğruları
Analitik düzlemde x (apsis) ekseninde bütün noktaların y si (ordinatı) sıfır olduğundan x ekseni aynı zamanda y = 0 doğrusudur.
y (ordinat) ekseni de x = 0 doğrusudur.
b. x eksenine paralel doğrular
y = k doğrusu; y eksenini k noktasında keser, x eksenine paralel ve y eksenine diktir.c. y eksenine paralel doğrular
x = k doğrusu;
x eksenini k noktasında keser, y eksenine paralel ve x eksenine diktir.

5. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğruların Denklemi
x eksenini a noktasında y eksenini de b noktasında kesen doğrunun denklemi
Doğru (a, 0) ve (0, b) noktalarından geçtiğine göre, doğrunun denklemi iki noktadan geçen doğru denklemi özelliği kullanılarak da yazılabilir.

* Dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğruya
y=x doğrusu denir.

* Dik koordinat sisteminde apsisleri ile ordinatları birbirinin ters işaretlisi olan noktaların oluşturduğu doğruya
y= -x doğrusu denir.

* y = x ve y = –x doğruları aynı zamanda koordinat eksenlerinin açıortaylarıdır. Koordinat eksenleri ile yaptıkları açılar 45° dir.

6. Doğruların Grafikleri
Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur.
x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır.

Konu: Geri: Geometrİk Kavramlar Ocak 18th 2008, 23:01

Geometrik Yer

. Geometrik Yer Tanımları

* Düzlemde bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çember belirtir.
* Düzlemde bir doğrudan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri paralel iki doğrudur.
* Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur. (Orta dikme doğrusu)
* Düzlemde paralel iki doğruya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur.
* Düzlemde doğrusal olmayan sabit üç noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir noktadır.

2. Düzlemde sabit bir d doğrusu ve d doğrusu üzerinde sabit bir P noktası alınıyor.
d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için,
P noktasına b cm uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli b cm yarıçaplı çember çizilir.d doğrusuna a cm uzaklıktaki noktalar d doğrusuna paralel iki doğrudur.
A, B, C, D noktaları d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktadırlar.
3. Üçgen Çizimi

* Bir kenara ait yükseklik h ise, o kenara h kadar uzaklıktan paralel doğru çizilir.
* Bir kenar uzunluğu |AB| kadarsa, A veya B noktasından |AB| yarıçaplı çember çizilir.

a. [AB] ve [BC] kenar uzunluğu ve ha yüksekliği verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,
[BC] kenarına ha uzaklıktan bir paralel doğru çizersek A köşesi bu doğru üzerinde olmalıdır. [AB] kenarının uzunluğu bilindiğine göre, A köşesi B merkezli |AB| yarıçaplı çemberin üzerinde olmalıdır. O halde doğru ile çemberin kesiştikleri nokta bu iki şartı sağlayan A noktasıdır.
A noktası B ye ve C ye birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.
b. [BC] kenarı, B açısı ve Va kenarortay uzunluğu verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,
[BC] kenarının orta noktasından Va yarıçaplı çember çizersek, B açısının kolu ile çemberin kesim noktası A köşesini verir. A ve C birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.4. Bir üçgenin belirli olabilme şartları
Bir üçgenin belirli olabilmesi için, en az biri kenar olmak şartıyla üç elemanı bilinmelidir.
a. İki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen üçgenler çizilebilir.
[AB], [BC] ve
m(ABC) = a
sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.
b. Üç kenarı bilinen üçgenler.
[AB], [AC] ve [BC] sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.
c. Bir kenarı ve bu kenarın oluşturduğu köşelerdeki açıları bilinen üçgenler.
[AB], m(BAC) = a ve m(ABC) = b sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.
d. İki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açının dışında bir açısı bilinen üçgenler
[AB], [AC] ve m(ABC) = a sabit verileriyle iki farklı ABC üçgeni çizilebilir.
Şekildeki ABC üçgeninde de görüldüğü gibi verilerde bir değişiklik yapmaksızın aynı verilerle hem ABC üçgeni hem de ABC' üçgeni çizilebilir.

* Buradan a>90° olursa birtek üçgen cizilebilir.